Hej! Jestem dostawcąPółp, a dziś chcę porozmawiać o tym, jak obliczyć półlinę elipsy przy użyciu geometrii współrzędnych. Na początku może to wydawać się nieco techniczne, ale zaufaj mi, nie jest tak skomplikowane, jak się wydaje.
Co to jest elipsa?
Zanim zagłębimy się w obliczenia, szybko omówmy, czym jest elipsa. Elipsa jest zamkniętą krzywą w płaszczyźnie, w której suma odległości od dowolnego punktu na krzywej do dwóch stałych punktów (zwanych ogniskami) jest stała. Możesz myśleć o tym jak o zgniatanym okręgu. Ma dwie osie: główną oś, która jest najdłuższą średnicą elipsy, i niewielką oś, która jest najkrótszą średnicą. Oś pół -główna (A) i półfinalna oś (B) są odpowiednio połową głównych i mniejszych osi.
Standardowe równanie elipsy
Standardowe równanie elipsy wyśrodkowanego na początku ((0,0)) w płaszczyźnie współrzędnych występuje w dwóch formach w zależności od jej orientacji.
Elipsa pozioma
Jeśli główna oś znajduje się wzdłuż osi x -, standardowym równaniem elipsy jest (\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1), gdzie (a> b> 0). Tutaj (a) jest pół -główną osą, a (b) to półfinalna oś.
Elipsa pionowa
Jeśli główna oś znajduje się wzdłuż osi y - równanie standardowe to (\ frac {x^{2}} {b^{2}}+\ frac {y^{2}} {a^{2}} = 1), gdzie (a> b> 0). Ponownie (a) jest pół -główną osą, a (b) to półfinalna oś.
Obliczanie pół -osi z równania
Powiedzmy, że masz równanie elipsy. Na przykład rozważ równanie (\ frac {x^{2}} {25}+\ frac {y^{2}} {9} = 1). Ponieważ mianownik pod (x^{2}) jest większy ((25> 9)), osi głównej znajduje się wzdłuż osi x -.
Wiemy, że standardową formą poziomej elipsy jest (\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1). Porównanie (\ frac {x^{2}} {25}+\ frac {y^{2}} {9} = 1) z formą standardową, widzimy, że (a^{2} = 25) i (b^{2} = 9).
Aby znaleźć (a) i (b), przyjmujemy pierwiastek kwadratowy odpowiednich wartości. Więc (a = \ sqrt {25} = 5) i (b = \ sqrt {9} = 3). Tutaj (a = 5) jest półprzewodnikową osą główną, a (b = 3) jest osą półfiniętą.
Jeśli mieliśmy równanie, takie jak (\ frac {x^{2}} {4}+\ frac {y^{2}} {16} = 1), ponieważ mianownik poniżej (y^{2}) jest większy ((16> 4)), osi głównej jest wzdłuż osi y -.
Porównując ze standardowym formularzem (\ frac {x^{2}} {b^{2}}+\ frac {y^{2}} {a^{2}} = 1), mamy (b^{2} = 4) i (a^{2} = 16). Biorąc korzenie kwadratowe, otrzymujemy (b = 2) i (a = 4). Zatem osi pół -główny (a = 4) i półfinalna oś (b = 2).
Obliczanie pół -osi z punktów na elipsie
Czasami możesz nie otrzymać równania elipsy bezpośrednio, ale raczej niektóre punkty na elipsie. Załóżmy, że mamy elipsę wyśrodkowaną na pochodzeniu i znamy dwa punkty ((x_1, y_1)) i ((x_2, y_2)) na elipsie.
Dla elipsy poziomej (\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1), jeśli zastąpimy punkty ((x_1, y_1)) i ((x_2, y_2) do równania, dostajemy dwa równania:
(\ frac {x_ {1}^{2}} {a^{2}}+\ frac {y_ {1}^{2}} {b^{2}} = 1) i (\ frac {x_ {2}^{2}} {a^{2}}+\ frac {y_ {2}^{2}} {b^{2}} = 1)
Niech (u = \ frac {1} {a^{2}}) i (v = \ frac {1} {b^{2}}). Następnie równania stają się (x_ {1}^{2} u + y_ {1}^{2} v = 1) i (x_ {2}^{2} u + y_ {2}^{2} v = 1)
Możemy rozwiązać ten układ równań liniowych dla (u) i (v) przy użyciu metod takich jak podstawienie lub eliminacja. Gdy mamy (u) i (v), możemy znaleźć (a = \ frac {1} {\ sqrt {u}}) i (b = \ frac {1} {\ sqrt {v}})
Na przykład, jeśli mamy punkty ((3,0)) i ((0,2)) na elipsie.
Podstawianie ((3,0)) do (\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1), dostajemy )
Podstawianie ((0,2)) do (\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1), dostajemy )
Aplikacje w prawdziwym życiu
Obliczanie pół -osi elipsy ma wiele rzeczywistych zastosowań. W astronomii orbity planet wokół Słońca są eliptyczne. Obliczając półfinię tych orbit, astronomowie mogą przewidzieć pozycję planet w różnych momentach.
W inżynierii kształty eliptyczne są stosowane w projektowaniu konstrukcji, takich jak łuki i kopuły. Znajomość pół -osi pomaga w określaniu wymiarów i siły tych struktur.
Dlaczego warto wybrać nasze półprzewodnikowe osie?
JakoPółpDostawca, rozumiemy znaczenie komponentów wysokiej jakości. Nasze półprzewodnikowe osie są wykonane z materiałów górnych, zapewniając trwałość i precyzję. Oferujemy również szeroki zakres rozmiarów, aby zaspokoić Twoje konkretne potrzeby.
Niezależnie od tego, czy pracujesz nad małym projektem, czy dużym zastosowaniem przemysłowym, nasze półprzewodnikowe osie są zgodne z zadaniem. A jeśli potrzebujesz również powiązanych komponentów, dostarczamy równieżZespół koła pierścieniowegoktóre zostały zaprojektowane do bezproblemowo z naszymi półprzewodnikami.
Jeśli interesujesz się naszymi produktami, chcielibyśmy porozmawiać z Tobą o twoich wymaganiach. Nie krępuj się wyciągnąć ręki i rozpocząć dyskusję na temat zamówień. Jesteśmy tutaj, aby upewnić się, że otrzymasz najlepsze komponenty dla swoich projektów.
Odniesienia
- Anton, Howard. „Rachunek: wczesne transcendentalne”. Wiley, 2012.
- Larson, Ron. "Rachunek różniczkowy." Cengage Learning, 2018.